comma 圈
comma category
圈$ \bf A,$ \bf B,$ \bf Cと函手$ S:{\bf A}\to{\bf C},$ T:{\bf C}\larr{\bf B}が在る時に$ (S\darr T)が comma 圈であるとは、組$ (A_{\in|{\bf A}|},B_{\in|{\bf B}|},h_{:S(A)\to T(B)})を對象とし、射の組$ (f_{:A\to A'},g_{:B\to B'})で圈$ \bf Cでの可換圖式$ S(A)\xrightarrow{h}T(B)\xrightarrow{T(g)}T(B')\xleftarrow{h'}S(A')\xleftarrow{S(f)}S(A),$ h;T(g)=S(f);h'を滿たすものを射$ (f,g):(A,B,h)\to(A',B',h')とする圈を謂ふ 射$ hは圈$ \bf Cの自己函手の閒の自然變換と見做せる。忘卻函手を$ H_{\bf A}(A,B,h)=A,$ H_{\bf A}(f,g)=f,$ H_{\bf B}(A,B,h)=B,$ H_{\bf B}(f,g)=gで定めると$ h:H_{\bf A};S\Rarr H_{\bf B};Tは自然變換に成る 圈$ \bf A,$ \bf B,$ \bf Cと函手$ S:{\bf A}\to{\bf C},$ T:{\bf C}\larr{\bf B}が在る時に$ (S\darr T)がcomma 圈であるとは、二つの函手$ S\times T:({\bf A}\times{\bf B})\to({\bf C}\times{\bf C}),$ (?\mapsto ?(0))\times(?\mapsto ?(1)):{\bf C}^{\bf 2}\to({\bf C}\times{\bf C})の引き戾しを言ふ comma 圈とは、圈を對象とした弱 2-圈での cospan$ {\bf A}\xrightarrow{S}{\bf C}\xleftarrow{T}{\bf B}の comma 對象$ (S\darr T)を言ふ span$ x\xleftarrow{f}s\xrightarrow{g}y
cospan$ x\xrightarrow{f}c\xleftarrow{g}y
楔 (wedge)$ A\xleftarrow{x_1}X\xrightarrow{x_2}B 圈$ \bf Cから對象$ A_{\in|{\bf C}|}を選んで、comma 圈$ ({\rm Id}_{\bf C}\darr\varDelta A)を特別に slice 圈 (slice cagegory。over category)$ ({\bf C}\darr A),$ {\bf C}/Aと呼ぶ ←→餘 slice 圈 (coslice category。under category)$ (A\darr{\bf C}),$ A/{\bf C}