comma 圈
圈$ \bf A,$ \bf B,$ \bf Cと函手$ S:{\bf A}\to{\bf C},$ T:{\bf C}\larr{\bf B}が在る時に$ (S\darr T)が comma 圈であるとは、組$ (A\in|{\bf A}|,B\in|{\bf B}|,h:S(A)\to T(B))を對象とし、射の組$ (f:A\to A',g:B\to B')で圈$ \bf Cでの可換圖式$ h;T(g)=S(f);h'を滿たすものを射$ (f,g):(A,B,h)\to(A',B',h')とする圈を謂ふ 射$ hは圈$ \bf Cの自己函手 (endofunctor) の閒の自然變換 (natural transformation) と見做せる。忘卻函手 (forgetful functor) を$ H_{\bf A}(A,B,h)=A,$ H_{\bf A}(f,g)=f,$ H_{\bf B}(A,B,h)=B,$ H_{\bf B}(f,g)=gで定めると$ h:H_{\bf A};S\Rarr H_{\bf B};Tは自然變換に成る 圈$ \bf A,$ \bf B,$ \bf Cと函手$ S:{\bf A}\to{\bf C},$ T:{\bf C}\larr{\bf B}が在る時に$ (S\darr T)がcomma 圈であるとは、二つの函手$ S\times T:({\bf A}\times{\bf B})\to({\bf C}\times{\bf C}),$ (?\mapsto ?(0))\times(?\mapsto ?(1)):{\bf C}^{\bf 2}\to({\bf C}\times{\bf C})の引き戾し (pullback, fiber product) を言ふ。$ {\bf C}^{\bf 2}は interval category$ {\bf 2}=\lbrace 0\to 1\rbraceから$ \bf Cへの函手圈である interval category$ \varDelta\lbrack 1\rbrackとは、對象$ 0,$ 1と射$ 0\to 1,$ id_0,$ id_1だけから成る圈を言ふ。$ \bf 2とも書く comma 圈とは、圈を對象とした Lax-2 圈での cospan$ {\bf A}\xrightarrow{S}{\bf C}\xleftarrow{T}{\bf B}の comma 對象$ (S\darr T)を言ふ 圈$ \bf Cから對象$ A_{\in|{\bf C}|}を選んで、comma 圈$ ({\bf C}\darr A)を特別に slice 圈 (slice cagegory)$ {\bf C}/Aと呼ぶ